professeur, département de mathématiques
Université du Québec à Montréal, Canada
CabriWorld 2001, 15 juin 2001
Dans ce site.
sections
documents
1. Introduction.
fichier Lapointe.fig
2. Le 1/7. Théorème de Lapointe.
fichier moreno.fig
3. Les p-sectrices. Théorème de Moreno.
fichier moreno.gif
4. Bibliographie.
fichier lapointe.gif
1. Introduction.
Dans cet atelier, je veux faire part de deux « théorèmes » (re?)découverts par des étudiants d'un cours
d'introduction à la géométrie que j'ai donné à l'automne 1999
à des étudiants de 1re et de 2e année du bacc. en mathématiques qui n'avaient
pratiquement aucune expérience préalable de démonstrations en géométrie. Eux et moi étions de plus
des novices de Cabri. Nous sommes allés, les étudiants et moi, une seule fois ensemble
dans un laboratoire d'informatique
faire connaissance avec Cabri. Par la suite, chacun pouvait y aller quand ça lui convenait.
Je fus ensuite agréablement surpris du nombre d'expérimentations faites
par les étudiants.
Dans cet atelier je vais en raconter deux qui ont conduit à des généralisations de résultats
ayant fait l'objet de problèmes
posés au cours. Il s'agit dans le premier cas, le
théorème de Lapointe,
d'une généralisation d'un problème donné en devoir et dans le second cas,
le théorème de Moreno,
de la généralisation d'un problème classique qui « circule dans les milieux informels
et y est réputé difficile », comme le dit Hartshorne, p. 11.
Comme ce ne sont pas tous les fureteurs qui peuvent afficher
les symboles mathématiques, j'écrirai des expressions comme angle(ABC) pour la mesure de l'angle ABC
ou encore |BC| pour la mesure du segment BC.
2. Le 1/7. Théorème de Lapointe.
J'ai demandé en devoir le problème suivant.
Problème:Si on prolonge les trois côtés d'un triangle ABC d'un longueur égale à eux-mêmes,
formant un nouveau triangle A'B'C' tel que A*B*B' (lire « B est entre A et B' »), B*C*C' et C*A*A'.
On encourageait l'expérimentation avec Cabri. Plusieurs étaient surpris d'arriver à 7 comme rapport mais presque tous
trouvèrent l'explication en calculant l'aire des 4 triangles en lesquels ont peut diviser le triangle A'B'C'.
Quant à l'étudiant Jean-Simon Lapointe, il a expérimenté avec Cabri et vu que pour des valeurs
entières p telles que les côtés prolongés soient p fois les côtés initiaux, le rapport était
encore entier. Étudiant ces entiers, il a conjecturé que le rapport était donné par le polynôme
3p2-3p+1
Il a fait ensuite essentiellement la même preuve que les autres mais sont
résultat, plus joli, est exprimé dans l'encadré rouge de la figure suivante qui provient du fichier Cabri ci-joint.
Il est d'ailleurs amusant de constater que ce résultat est vrai pour
n'importe quel réel
p positif. Les cas p>1, p=1, p<1 doivent être traités séparément et en promenant le point p
dans le fichier Cabri correspondant, on voit que le rapport
est minimum et vaut 1/4 quand p=1/2 avant que les sommets A'B'C' ne se rapprochent des
sommets C, B, A respectivement, faisant remonter le rapport à 1 lorsque p=0.
2. Les p-sectrices. Théorème de Moreno.
J'ai demandé en défi, de démontrer de la façon la plus élégante possible que si deux
bissectrices d'un triangle sont de longueur égale (j'appelle ici bissectrice la longueur du segment allant
du sommet par lequel elle passe à son point d'intersection avec le côté opposé), alors
le triangle est isocèle. Ce résultat est connu sous le nom de
Dans son livre intitulé Geometry: Euclid and Beyond, p. 14, Hartshorne cite ce résultat
comme étant un de ces fameux problèmes difficiles qui circulent informellement parmi les amateurs
et dont une démonstration n'utilsant que la géométrie élémentaire nous échappe de façon surprenante. Ce résultat est
aussi connu sous le nom de théorème de Steiner-Lehmus parce que, nous apprennent
Coxeter et Greitzer dans leur livre Geometry Revisited p. 14, C.L. Lehmus a écrit
à Jacob Steiner
en 1840 pour lui en demander une preuve purement géométrique. Steiner fournit une preuve assez compliquée et
d'autres preuves parurent en 1842, 1844, 1848 et pratiquement chaque année entre 1854 et 1864 et bien souvent depuis.
Je n'ai d'ailleurs reçu que deux démonstrations correctes cette année-là
dont l'une utilisait la loi des sinus et beaucoup d'algèbre et l'autre, provenant
de l'étudiant Sol Moreno était géométrique et accompagnée
d'une généralisation. Il appelle p-sectrice de l'angle intérieur situé
au sommet A d'un triangle ABC, par rapport au côté AB, le segment issu du sommet A et rencontrant le côté BC
en un point D tel que B*D*C et tel que
| angle(DAB) | / | angle(CAB) | = p
le cas p=1/2 étant la bissectrice.
Il a alors montré que si les p-sectrices de deux angles d'un triangle, par
rapport au même côté sont égales, alors le triangle est isocèle.
Je vais vous présenter ici une jolie preuve du théorème de Moreno, adaptée de la preuve du théorème de Steiner-Lehmus
qu'on trouve dans Geometry Revisited. La prochaine
figure provient d'un fichier Cabri ci-joint et qui permet de dessiner les p-sectrices.
On considère un triangle ABC et les p-sectrices BD et CE et on suppse que les p-sectrices sont de même
longueur et que le triangle n'est pas isocèle. On suppose aussi que les angles en B et C du triangle ABC sont
aigus car dans le cas contraire, la bissectrice partant le l'angle aigu est plus longue que BC et celle partant de l'angle obtus
est plus courte
que BC.
| BD | = | CE | et | AC | > | AB |.
Au côté le plus grand est opposé le plus grand angle. Par conséquent
| angle(ABC) | > | angle(ACB) |.
Soit G le point de la bissectrice CE tel que
| angle(GBD) | = (1-p) | angle(ACB) | = | angle(ACE) |.
| angle(ACB) | = p | angle(ACB) | + (1-p) | angle(ACB) |
< p | angle(ABC) | + (1-p) | angle(ACB) |
= | angle(CBG) |.
Remarquons que C est sur le cercle passant par B, G et D car l'angle DCG et l'angle GBD interceptent le même arc BD
de ce cercle. Comme des angles aigus plus grands interceptent des cordes plus grandes, on conclut donc que
| BD | < | CG |
et comme | CG | < | CE | on a à plus forte raison que | BD | < | CE | contredisant notre hypothèse.
4. Bibliographie.
Hartshorne, Robin, Geometry: Euclid and Beyond, Springer UTM, New York, 2000.
Coxeter, H.S.M. et Greitzer, S.L., Geometry Revisited, Random House New Mathematical Library, New York, 1967.
professeur, département de mathématiques
Université du Québec à Montréal, Canada
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1. Introduction.
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2. Le 1/7. Théorème de Lapointe.
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3. Les p-sectrices. Théorème de Moreno.
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4. Bibliographie.
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| 2. Le 1/7. Théorème de Lapointe. | fichier moreno.fig |
| 3. Les p-sectrices. Théorème de Moreno. | fichier moreno.gif |
| 4. Bibliographie. | fichier lapointe.gif |
1. Introduction.
Dans cet atelier, je veux faire part de deux « théorèmes » (re?)découverts par des étudiants d'un cours d'introduction à la géométrie que j'ai donné à l'automne 1999 à des étudiants de 1re et de 2e année du bacc. en mathématiques qui n'avaient pratiquement aucune expérience préalable de démonstrations en géométrie. Eux et moi étions de plus des novices de Cabri. Nous sommes allés, les étudiants et moi, une seule fois ensemble dans un laboratoire d'informatique faire connaissance avec Cabri. Par la suite, chacun pouvait y aller quand ça lui convenait.
Je fus ensuite agréablement surpris du nombre d'expérimentations faites par les étudiants. Dans cet atelier je vais en raconter deux qui ont conduit à des généralisations de résultats ayant fait l'objet de problèmes posés au cours. Il s'agit dans le premier cas, le théorème de Lapointe, d'une généralisation d'un problème donné en devoir et dans le second cas, le théorème de Moreno, de la généralisation d'un problème classique qui « circule dans les milieux informels et y est réputé difficile », comme le dit Hartshorne, p. 11.
Comme ce ne sont pas tous les fureteurs qui peuvent afficher les symboles mathématiques, j'écrirai des expressions comme angle(ABC) pour la mesure de l'angle ABC ou encore |BC| pour la mesure du segment BC.
2. Le 1/7. Théorème de Lapointe.
J'ai demandé en devoir le problème suivant.
Problème:Si on prolonge les trois côtés d'un triangle ABC d'un longueur égale à eux-mêmes, formant un nouveau triangle A'B'C' tel que A*B*B' (lire « B est entre A et B' »), B*C*C' et C*A*A'.
On encourageait l'expérimentation avec Cabri. Plusieurs étaient surpris d'arriver à 7 comme rapport mais presque tous trouvèrent l'explication en calculant l'aire des 4 triangles en lesquels ont peut diviser le triangle A'B'C'.
Quant à l'étudiant Jean-Simon Lapointe, il a expérimenté avec Cabri et vu que pour des valeurs
entières p telles que les côtés prolongés soient p fois les côtés initiaux, le rapport était
encore entier. Étudiant ces entiers, il a conjecturé que le rapport était donné par le polynôme
Il a fait ensuite essentiellement la même preuve que les autres mais sont résultat, plus joli, est exprimé dans l'encadré rouge de la figure suivante qui provient du fichier Cabri ci-joint.
Il est d'ailleurs amusant de constater que ce résultat est vrai pour n'importe quel réel p positif. Les cas p>1, p=1, p<1 doivent être traités séparément et en promenant le point p dans le fichier Cabri correspondant, on voit que le rapport est minimum et vaut 1/4 quand p=1/2 avant que les sommets A'B'C' ne se rapprochent des sommets C, B, A respectivement, faisant remonter le rapport à 1 lorsque p=0.
2. Les p-sectrices. Théorème de Moreno.
J'ai demandé en défi, de démontrer de la façon la plus élégante possible que si deux bissectrices d'un triangle sont de longueur égale (j'appelle ici bissectrice la longueur du segment allant du sommet par lequel elle passe à son point d'intersection avec le côté opposé), alors le triangle est isocèle. Ce résultat est connu sous le nom de
Dans son livre intitulé Geometry: Euclid and Beyond, p. 14, Hartshorne cite ce résultat comme étant un de ces fameux problèmes difficiles qui circulent informellement parmi les amateurs et dont une démonstration n'utilsant que la géométrie élémentaire nous échappe de façon surprenante. Ce résultat est aussi connu sous le nom de théorème de Steiner-Lehmus parce que, nous apprennent Coxeter et Greitzer dans leur livre Geometry Revisited p. 14, C.L. Lehmus a écrit à Jacob Steiner en 1840 pour lui en demander une preuve purement géométrique. Steiner fournit une preuve assez compliquée et d'autres preuves parurent en 1842, 1844, 1848 et pratiquement chaque année entre 1854 et 1864 et bien souvent depuis.
Je n'ai d'ailleurs reçu que deux démonstrations correctes cette année-là
dont l'une utilisait la loi des sinus et beaucoup d'algèbre et l'autre, provenant
de l'étudiant Sol Moreno était géométrique et accompagnée
d'une généralisation. Il appelle p-sectrice de l'angle intérieur situé
au sommet A d'un triangle ABC, par rapport au côté AB, le segment issu du sommet A et rencontrant le côté BC
en un point D tel que B*D*C et tel que
le cas p=1/2 étant la bissectrice.
Il a alors montré que si les p-sectrices de deux angles d'un triangle, par rapport au même côté sont égales, alors le triangle est isocèle.
Je vais vous présenter ici une jolie preuve du théorème de Moreno, adaptée de la preuve du théorème de Steiner-Lehmus qu'on trouve dans Geometry Revisited. La prochaine figure provient d'un fichier Cabri ci-joint et qui permet de dessiner les p-sectrices.
On considère un triangle ABC et les p-sectrices BD et CE et on suppse que les p-sectrices sont de même
longueur et que le triangle n'est pas isocèle. On suppose aussi que les angles en B et C du triangle ABC sont
aigus car dans le cas contraire, la bissectrice partant le l'angle aigu est plus longue que BC et celle partant de l'angle obtus
est plus courte
que BC.
Au côté le plus grand est opposé le plus grand angle. Par conséquent
Soit G le point de la bissectrice CE tel que
| angle(ACB) | = p | angle(ACB) | + (1-p) | angle(ACB) |
< p | angle(ABC) | + (1-p) | angle(ACB) |
= | angle(CBG) |.
Remarquons que C est sur le cercle passant par B, G et D car l'angle DCG et l'angle GBD interceptent le même arc BD
de ce cercle. Comme des angles aigus plus grands interceptent des cordes plus grandes, on conclut donc que
4. Bibliographie.
Hartshorne, Robin, Geometry: Euclid and Beyond, Springer UTM, New York, 2000.
Coxeter, H.S.M. et Greitzer, S.L., Geometry Revisited, Random House New Mathematical Library, New York, 1967.